【知識點7】二叉樹期權定價模型

　　一、單期二叉樹模型

　　關于單期二叉樹模型，其計算結果與前面介紹的復制組合原理和風險中性原理是一樣的。

　　以風險中性原理為例：

　　
　　式中：

　　Co=期權價格;Cu=股價上升時期權到期日價值

　　Cd=股價下行時期權到期日價值;r=無風險利率

　　u=股價上行乘數;d=股價下行乘數

　　【提示】二叉樹模型建立在復制原理和風險中性原理基礎之上的，比較而言，風險中性原理比較簡單，應用風險中性原理時，可以直接應用這里的上行概率計算公式計算上行概率，然后計算期權價值。

　　 二、兩期二叉樹模型

　　如果把單期二叉樹模型的到期時間分割成兩部分，就形成了兩期二叉樹模型。由單期模型向兩期模型的擴展，不過是單期模型的兩次應用。

　　
　　計算出Cu、Cd后，再根據單期定價模型計算出Co。

　　【例】假設ABC公司的股票現在的市價為50元。有1股以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為52.08元。到期時間是6個月。無風險利率為每年4%。

　　把6個月的時間分為2期，每期3個月。每期股價有兩種可能：上升22.56%，或下降18.4%。

　　【提示】本例前面為6個月一期時，無風險利率2%，本題三個月一期時，無風險利率1%。并沒有考慮名義利率和實際利率的問題。

　　『正確答案』第一步，計算Cu、Cd的價值

　　【采用復制組合定價】

　　套期保值比率=期權價值變化/股價變化=(23.02-0)/(75.10-50)=0.9171

　　購買股票支出=套期保值比率×股票現價=0.9171×61.28=56.20

　　借款數額=(到期日下行股價×套期保值比率)/(1+利率)

　　=50×0.9171/1.01=45.40

　　Cu=56.2-45.4=10.80元

　　由于Cud、Cdd均為0，因此，Cd=0

　　【采用風險中性定價】

　　1%=上行概率×22.56%+(1-上行概率)×(-18.4%)

　　上行概率=0.47363

　　期權價值6個月后的期望值=23.02×0.47363+(1-0.47363)×0=10.9030

　　Cu=10.9030/1.01=10.80(元)

　　由于Cud、Cdd均為0，因此，Cd=0

　　【采用兩期二叉樹模型】

　　 來三、多期二叉樹模型

　　1.原理：從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級推進。

　　2.上行乘數和下行乘數是如何確定的?

　　期數增加以后帶來的主要問題是股價上升與下降的百分比如何確定問題。期數增加以后，要調整價格變化的升降幅度，以保證年收益率的標準差不變。把年收益率標準差和升降百分比聯系起來的公式是：

　　『正確答案』

　　【例】已知：股票價格So=50元，執行價格52.08元，年無風險利率4%，股價波動率(標準差)0.4068.到期時間6個月，劃分期數為6期。

　　『正確答案』1.確定每期股價變動乘數

　　u=1.1246

　　d=0.8892

　　【注意】計算中注意t必須為年數，這里由于每期為1個月，所以t=1/12年。

　　2.建立股票價格二叉樹

　　
　　【填表規律】以當前股價50為基礎，先按照下行乘數計算對角線的數字;對角線數字確定之后，各行該數字右邊的其他數字均按照上行乘數計算。

　　3.按照股票價格二叉樹和執行價格，構建期權價值二叉樹。

　　(1)確定第6期的各種情況下的期權價值

　　7個數字中有三個大于執行價格，可以據此計算出三個期權價值(49.07=101.15-52.08;27.9=79.98-52.08;11.16=63.24-52.08)，后四個數字小于執行價格，期權價值為0.

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